外乱抑制について備忘録 - Libraの気まぐれ記録

3Dプリンタが使えないのでpython-controlで遊んでみました
Python Control Systems Library — Python Control Systems Library dev documentation
FF制御のみ，PIDによるFB制御のみ，FFとPIDを組み合わせた制御(FF+FB)，外乱オブザーバーを追加した制御(FF+FB+EX)を比較
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外乱オブザーバーを追加した制御が収束が早く，外乱を抑制できている（ゲインは統一）
ソース
robot-ws/system.py at master · Libra23/robot-ws · GitHub

環境

macOS Big Sur : 11.4
Python : 3.9.5

control==0.9.0
matplotlib==3.4.2
numpy==1.20.3
PyYAML==5.4.1
scipy==1.6.3

外乱オブザーバーフィードバックによる外乱抑制

外乱オブザーバーとは

簡単に言うとプラントの出力から入力を推定して，実際の入力との差から外乱を推定する
外乱オブザーバの紹介 - Qiita

ブロック線図

フィードフォワード制御とPID制御に外乱オブザーバー補償を追加したコントローラでストップ応答を確認する
ブロック線図は下図
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パラメータ

R : 入力
Y : 出力
D : 外乱
D_est : 推定外乱
FF : フィードフォワードコントローラ
PID : PIDコントローラ
T : FFとPIDの出力
P : プラント
P_n^-1 : 逆プラントモデル
Q :フィルタ
F : フィルタ

外乱オブザーバーの伝達関数

TとDを入力，出力をYとなるように伝達関数を求める
推定外乱について
$D_{est} = Q(P_n^{-1}Y - (T - D_{est}))$
$D_{est} = \frac{Q}{1 - Q}(P_n^{-1}Y - T)$
出力について
$Y = P(T - D_{est} + D)$
上式を整理すると下記の伝達関数が得られる
$Y = \frac{P}{1 - Q + QPP_n^{-1}}T + \frac{P(1 - Q)}{1 - Q + QPP_n^{-1}}D$
$PP_n^{-1} = 1$ が成り立つ時， $Y = PT + P(1 - Q)D$ であるから外乱と外乱推定値は下記式を満たす
$D_{est} = \frac{Q}{1 - Q}(P_n^{-1}Y - T) = QD$
以上より，外乱を推定できることが分かる

システムの伝達関数

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外乱オブザーバーの伝達関数を簡単のため係数A，Bを用いて示す
$A = \frac{P}{1 - Q + QPP_n^{-1}}, B = \frac{P(1 - Q)}{1 - Q + QPP_n^{-1}}$
RとDを入力，出力をYとなるように伝達関数を求める
$Y \frac{A(FF + PID)}{1 + A PID}R + \frac{B}{1 + A PID}D$
ただしF=1としている